A. Persamaan Lingkaran
Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.
Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran.
Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut ini disajikan definisi lingkaran.
Pengertian Lingkaran :
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.
1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r
Amati Gambar 3.
Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r.
Diketahui, titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' adalah segitiga siku-siku di P'.
Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.
OP2 = (OP')2 + (P'P)2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.
L= {(x, y) | x2 + y2 = r2}
Pandang titik P1(x1, y1) pada ΔOP1P'1. Pada segitiga tersebut berlaku x12 + y12 = r12.
Pandang titik P2(x2, y2) pada ΔOP2P2'. Pada segitiga tersebut berlaku x22 + y22 = r22, dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada lingkaran ini berlaku x2 + y2 = r2.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2.
Contoh Soal 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari 
.
Pembahasan :
Jari-jari r = sehingga 
= 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari adalah x2 + y2 = 12.
Contoh Soal 2 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2 .... (1)
Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :
x2 + y2 = r2
↔ (–6)2 + (–8)2 = r2
↔ r2 = 36 + 64 = 100
↔ .r = 
=10
Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r
Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b) dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r.
Titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.
Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.
TP2 = TQ2 + PQ2 ↔ r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:
L: {(x, y)(x – a)2 + (y – b)2 = r2}
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar (baku).
Contoh Soal 3 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) dengan jari-jari 
.
Persamaan lingkaran standar (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari , diperoleh :
(x – 2)2 + (y – (–1))2 = 
↔ (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18.
Contoh Soal 4 :
Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0.
Penyelesaian :
Rumus jarak dari titik T (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 adalah :
Jarak dari pusat T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitu :
Jadi, persamaan lingkarannya adalah :
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh :
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a2 + b2 – r2); A, B, dan C bilangan real. Jadi,
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C bilangan real.
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(x2 + Ax) + (y2 + By) = – C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran 
dan jari-jari lingkaran 
Contoh Soal 5 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
Jawaban :
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.
Contoh Soal 6 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x –12y = 101.
Penyelesaian :
Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti berikut.
2x2 + 2y2 – 4x – 12y – 101 = 0 ↔ x2 + y2 – 2x – 6y – (
) = 0
Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – ()
4. Posisi Titik terhadap Lingkaran
Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2 = 9 diperlihatkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2 = 9.
Pada gambar itu tampak bahwa titik P1 (1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P2 (5, 2) terletak pada lingkaran, sedangkan titik P3 (6, –3) terletak di luar lingkaran.
Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b).
Gambar 6. Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r.
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(a). Secara matematis ditulis |PT| < r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau,
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) sama dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(b).
Secara matematis, ditulis |PT| = r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 atau,
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(c).
Secara matematis ditulis |PT| > r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 atau,
Contoh Soal 7 :
Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Jawaban :
Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah sebagai berikut.
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2 + (1 + 3)2 = 25.
Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab :
(4 – 2)2 + (–4 + 3)2 < 25.
Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebab :
(6 – 2)2 + (3 + 3)2 > 25.
5. Posisi Garis terhadap Lingkaran
Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran :
L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah :
D = b2 – 4ac
• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar 7(a).
• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar 7(b).
• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 7(c).
Gambar 7. Posisi Garis terhadap Lingkaran.
Contoh Soal 8 :
Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaran L dengan persamaan x2 + y2 = 4. Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.
Jawaban :
y = mx + 2 ; maka, y2 = (mx + 2)2 = m2 x2 + 4m x + 4
Diskriminan D = (4m)2 – 4 (1 + m2) (0)
D = 16 m2
Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D > 0.
Dengan demikian, 16m2 > 0
Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0.
A. Persamaan Lingkaran
Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.
|
| Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran. |
Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut ini disajikan definisi lingkaran.
Pengertian Lingkaran :
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.
1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r
Amati Gambar 3.
Diketahui, titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' adalah segitiga siku-siku di P'.
 |
| Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r. |
Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.
OP2 = (OP')2 + (P'P)2
↔ r2 = x2 + y2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.
L= {(x, y) | x2 + y2 = r2}
Pandang titik P1(x1, y1) pada ΔOP1P'1. Pada segitiga tersebut berlaku x12 + y12 = r12.
Pandang titik P2(x2, y2) pada ΔOP2P2'. Pada segitiga tersebut berlaku x22 + y22 = r22, dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada lingkaran ini berlaku x2 + y2 = r2.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2.
Contoh Soal 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari .
.
Pembahasan :
Jari-jari r = sehingga = 12.
sehingga = 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari adalah x2 + y2 = 12.
adalah x2 + y2 = 12.
Contoh Soal 2 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2 .... (1)
Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :
x2 + y2 = r2
↔ (–6)2 + (–8)2 = r2
↔ r2 = 36 + 64 = 100
↔ .r = =10
=10
Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r
Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b) dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.
Titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.
 |
| Gambar 4. Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r. |
Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.
TP2 = TQ2 + PQ2 ↔ r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:
L: {(x, y)(x – a)2 + (y – b)2 = r2}
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar (baku).
Contoh Soal 3 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) dengan jari-jari .
.
Persamaan lingkaran standar (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari , diperoleh :
, diperoleh :
(x – 2)2 + (y – (–1))2 = ↔ (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18
↔ (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )2 + (y + 1)2 = 18.
Contoh Soal 4 :
Penyelesaian :
Rumus jarak dari titik T (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 adalah :
Jarak dari pusat T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitu :
Jadi, persamaan lingkarannya adalah :
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh :
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a2 + b2 – r2); A, B, dan C bilangan real. Jadi,
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C bilangan real.
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(x2 + Ax) + (y2 + By) = – C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran
dan jari-jari lingkaran
Contoh Soal 5 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
Jawaban :
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.
Contoh Soal 6 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x –12y = 101.
Penyelesaian :
Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti berikut.
2x2 + 2y2 – 4x – 12y – 101 = 0 ↔ x2 + y2 – 2x – 6y – () = 0
) = 0
Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – ()
)
4. Posisi Titik terhadap Lingkaran
Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2 = 9 diperlihatkan pada Gambar 5.
Pada gambar itu tampak bahwa titik P1 (1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P2 (5, 2) terletak pada lingkaran, sedangkan titik P3 (6, –3) terletak di luar lingkaran.
 |
| Gambar 5. Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2 = 9. |
Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b).
 |
| Gambar 6. Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r. |
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(a). Secara matematis ditulis |PT| < r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) sama dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(b).
Secara matematis, ditulis |PT| = r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(c).
Secara matematis ditulis |PT| > r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0
Contoh Soal 7 :
Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Jawaban :
Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah sebagai berikut.
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
(x2 – 4x) + (y2 + 6y) – 12 = 0
(x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ... kedua ruas ditambah 4 dan 9
(x – 2)2 + (y + 3)2 – 12 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2 + (1 + 3)2 = 25.
Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab :
(4 – 2)2 + (–4 + 3)2 < 25.
Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebab :
(6 – 2)2 + (3 + 3)2 > 25.
5. Posisi Garis terhadap Lingkaran
Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran :
L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah :
D = b2 – 4ac
D = (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar 7(a).
• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.
Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar 7(b).
• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 7(c).
 |
| Gambar 7. Posisi Garis terhadap Lingkaran. |
Contoh Soal 8 :
Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaran L dengan persamaan x2 + y2 = 4. Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.
Jawaban :
y = mx + 2 ; maka, y2 = (mx + 2)2 = m2 x2 + 4m x + 4
x2 + y2 = 4 ↔ x2 + m2x2 + 4mx + 4 = 4
↔ (1 + m2)x2 + 4mx = 0
Diskriminan D = (4m)2 – 4 (1 + m2) (0)
D = 16 m2
Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D > 0.
Dengan demikian, 16m2 > 0
↔ m2 > 0
↔ m > 0
Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0.
